Разработка заданий

Классификация взаимного расположения
двух плоскостей в пространстве

Шувалова Александра Юрьевна

Методическая разработка включает блок из трёх заданий, направленных на формирование первичных представлений учащихся о взаимном расположении плоскостей в пространстве. Отличительной особенностью материалов является теоретико-множественный подход.

I Классификация взаимного расположения двух плоскостей

Задания:

1.                  Прочитайте примеры, описывающие взаимное расположение разных пар предметов (элементов).

1)                 Полки в книжном шкафу.

2)                 Экран и клавиатура готового к работе ноутбука.

3)                 Масло на хлебе.

4)                 Деревянная столешница со свежим слоем лака.

5)                 Крышка чайника и его дно.

6)                 Раскрытая книга.

Данное множество пар объектов можно разделить на три подмножества. Первое – предметы (элементы) не имеют общих точек. Второе – предметы (элементы) имеют общие точки, образующие прямую. Каким может быть третье подмножество? Какие примеры к нему относятся? Что можно сказать о взаимном расположении предметов (элементов)? Третье подмножество, это примеры 3 и 4, – предметы (элементы) имеют бесконечное множество общих точек, совпадают.

2.                  Лёша придумал строчки песни:

«Две параллельных прямые

Вдруг сошлись и застыли.

Это я их согнул…»

О каком множестве геометрических объектов эти строчки? На какие подмножества можно разделить описанные элементы множества? Какими свойствами обладают все элементы каждого подмножества? Можно ли «перевести» эти строчки для работы не на плоскости, а в пространстве, с другими объектами?

Строчки – о множестве прямых на плоскости, которое можно разделить на три подмножества по взаимному расположению. Прямые не имеют общих точек; имеют одну общую точку – то есть пересекаются; имеют бесконечное множество общих точек – совпадают. Да, в пространстве речь пойдёт о взаимном расположении плоскостей.

3.                  Представьте расположение игральных карт при складывании "домика". Для каждой части «Карточного домика» сопоставьте словесное описание. Вспомните случаи взаимного расположения двух прямых на плоскости. Сделайте вывод о взаимном расположении двух плоскостей.

А) Плоскости α и b имеют одну общую прямую.

B) У плоскостей α и b все точки – общие.

C) Плоскости α и b не имеют общих точек.

Таким образом, мы множество пар плоскостей (делимое понятие - А) разделили на три подмножества – три класса (члены деления), т.е. выполнили классификацию.

Можно представить классификацию, используя символы: А = В ᵁ С ᵁ D, где A – множество пар плоскостей; B – плоскости, не имеющие общих точек (прямых), то есть параллельные; C – плоскости, имеющие одну общую прямую, то есть пересекающиеся; D – плоскости, имеющие более одной общей прямой, то есть совпадающие.

II Основные теоретические сведения (повторение теоретического материала)

1)      Параллельность плоскостей

Определение: Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Предположим, в некоторой задаче нам хотелось бы доказать, что некоторые плоскости параллельны. Как это сделать? Для такой цели имеется специальное утверждение.

Признак параллельности плоскостей: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Вопрос: Почему в формулировке признака параллельности плоскостей важно, что прямые пересекающиеся? Останется ли верным признак, если это слово убрать?

Важное свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые пересечения параллельны.

2)      Пересечение плоскостей

Одна плоскость пересекает другую по прямой. Это — одно из базовых утверждений стереометрии, которое нередко принимается в качестве аксиомы: если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Данное утверждение используется при построении сечений многогранников. Рассмотрим самый простой пример — сечение тетраэдра.

Задача: На рёбрах AB, BC и CD тетраэдра ABCD расположены соответственно точки K, N и M, отличные от вершин тетраэдра (при этом прямые KN и AC не параллельны). Постройте сечение тетраэдра плоскостью KMN.

Вариант описания построения: Грани ABC и BCD пересекаются секущей плоскостью KMN по отрезкам KN и MN соответственно. Пересечением секущей плоскости и плоскости ABC служит прямая KN, которая пересекает прямую AC в точке P. Таким образом, точка P принадлежит одновременно секущей плоскости и плоскости ACD. Точка M также является общей точкой секущей плоскости и плоскости ACD. Значит, секущая плоскость пересекает плоскость ACD по прямой PM. Прямая PM пересекает AD в точке L. Остаётся провести KL и LM. В результате получается четырёхугольник KLMN, который и является искомым сечением.